反射高速電子回折(RHEED)強度計算の結晶ポテンシャル

結晶の電子線に対する有効ポテンシャルの要素は、個々の原子の和として以下のように表される。

   　(1)

 ここで、q は入射波の波数、q' は散乱波の波数であり、f_a(q,q') は原子形状因子、h は Planck constant, m は電子の相対質量, R_a は a番目の原子の平衡位置、M_a(q) は Debye-Waller 因子に対応し、a番目の原子の振動振幅を(u_a) とすると M_a(q) = 1/2 <(q・u_a)²>.で表される。

電子線の原子による散乱の形状因子 f_a(q,q') は実数部と虚数部から成り、

f_a(q,q') ＝ f’_a(q-q') + if”_a(q,q')　　　　　　　(2)

で表される。ここで、実数部は、原子散乱因子、f_a^e(s)、（s = |q - q'| / 4p)、と g = m/m_0（m_{0：静止質量）を用いて}

       f’_a(q-q') = g f ^e_a(s)                　　　　　　      (3)

 と書き表せる。

虚数部 f ”_a(q,q') は、非弾性散乱や散漫散乱による項であるが、虚数部が原子の熱振動による温度散漫散乱のみの場合には、f ”_a(q,q') は原子の熱振動のみにより決まるので、Bird と Kingは  f_a^TDS(s) を以下のように定義し、実数部と同様な形式とした[D.M. Bird and Q.A. King, Acta Crystallogr. Sect. A46 (1990) 202.]。

        f ”_a(q,q')  =  g f_a^TDS(s) ,            　　　　    　   (4)  

 . f_a^e(s)は、 P.A.Doyle and P.S.Turner により計算され５つのガウス関数の和で以下のように近似され、 　

  f_a^e(s)  =  å a_n^(Re) exp(-b_n^(Re) s² )       　　　　        (5)

各元素に対して係数、a_n^(Re) 、b_n^(Re) の値が表として与えられている[P.A.Doyle and P.S.Turner, Acta Crystallogr. A24, 390 (1968).]。

また、原子の熱振動（振幅, u）による散漫散乱振幅、f_a^TDS(s) は原子散乱因子、f_a^e(s)、とデバイパラメータ 、B = 8π<u^２>、により以下のように書き表される。

 ,     (6a)

または、

, (6b)

 ここで、 であり Debye-Waller factor と呼ばれている。.

したがって、形状因子の虚数部 f ”_a(q,q') も f_a^e(s) と B をもちいて表すことができる。

そこで、Dudarev らは、対象とする元素のf_a^e(s) と 熱振動の振幅に対応するデバイパラメータ、B、を設定し、計算した f_a^TDS(s) の関数が以下のような５つのガウス関数で表現できることを示した。

  f_a^TDS(s) exp(-B s²/2)  =  å  a_n^(TDS) exp(-b_n^(TDS) s² ).      　　  (7)

そして、 ここに現れるフィッティング係数 a_n^(TDS) , b_n^(TDS)の最適値を求める計算するプログラムを公開した[S.L. Dudarev, L.-M. Peng and M.J. Whelan, Surf. Sci. 330, 86 (1995).]。

この係数を用いて結晶ポテンシャルを求めることができる。

(1)式をフーリエ変換して(5)、(7)式を代入すると、原子の座標R_aが分かれば、以下のように結晶ポテンシャルを求めることができる。

また、RHEEDを計算するときに必要な深さｚにおける結晶ポテンシャルの２次元のフーリエ成分,Ug(z), も以下の式を使うことで直接求めることができる[S.L. Dudarev, L.-M. Peng and M.J. Whelan, Surf. Sci. 330, 86 (1995).]。。

ここで、S_IIは２次元表面構造のユニットセルの面積、gは表面に平行な２次元の逆格子ベクトルである。この式では、a番目の原子の座標Raを表面平行成分、R_IIa、と表面垂直成分、Z_a、で表している。

我々の研究室の計算プログラムでは、この式を用い表面からの深さｚにおける結晶ポテンシャルのフーリエ成分を求めている。